這幅圖讓您想到了什麼？
小時候困擾了多少孩子的雞兔同籠問題，
現在改成雞羊問題，
孩子們的困擾解決了嗎？
當年的小孩，
即使在今天，
已身為父母，
想到這類型的題目，
會不會仍是百思不得其解？
把雞兔同籠，
改為將雞羊飼養在院子裡，
還是兩種動物。
一種兩隻腳，
一種四隻腳。
還是一樣的問題！
雞和羊隻數加起來為某個固定數，
告知雞腳和羊腳的總隻數後，
問題來了，
要求出雞和羊各有多少隻？
小時候，
我的老師怎麼教雞兔同籠呢？
坦白說：
我完全想不起來！
身為老師之後，
我怎麼教雞羊問題呢？
我只知道自己的教學策略一直在改變與修正，
或許有機會，
應該問問以前的學生，
我是怎麼教這個問題的？
但這一次，
就在上週數學進入第六單元活動「雞羊問題」，
我是這樣引導孩子的...
進入一個新的單元之前，
我們照例會先復習舊經驗，
讓孩子們知道在學習這個單元之前，
他必須先具備的先備知識為何？
這個部份在此略過，
直接進入雞羊問題的教學。
題目是這樣的：
薇薇數一數，發現院子裡的雞和羊一共有10隻，
牠們一共有32隻腳。
想想看，雞和羊各有多少隻呢？
孩子們讀題後，
先兩兩一組進行對話。
表格提供的訊息，
孩子們是否讀懂，
一直是我很在乎的點。
在近兩年的教學互動中，
孩子們再熟悉不過老師的操作模式，
看到表格的第一步，
要先讀懂表格的訊息。
把自己認為的表格訊息，
告訴另一位夥伴，
如此交叉進行著。
一邊交叉對話，一邊把表格完成，
動作快的孩子，
可以先想一想，
除了用表格找答案之外，
有沒有更快的方式可以幫助自己算出雞和羊各有多少隻？
一般而言，
在開放讓學生進行討論之前，
我會
再次抽點學生確認討論目標（亦即老師指令）為何？
宸搶著說：完成表格。
師：一個人做嗎？
生：兩個人一起討論完成。
師：表格完成後，再想一想，當問題出現時如果每一次都畫表格ok嗎？
生：可以！
也有學生說：會花很多時間。
師：所以要運用大家聰明的腦袋瓜，想一想，有沒有什麼更快的方法可以幫助你找到答案呢？
學生進入討論。
老師行間巡視。
聆聽學生對話。
學生討論後，我走到台前
問：題目有幾點提示？
雞加羊總共有10隻，
雞腳加羊腳是32隻。
這個表格透露的訊息是什麼呢？
以下抽籤請學生回答。
衛：雞的數量跟羊的數量。
師：那0跟10是什麼意思？
衛：雞的數量如果是0隻，羊的數量是10隻，雞腳加羊腳總共會有40隻腳。
師：為什麼？
衛：因為雞牠一隻有2隻腳，但是牠有0隻，羊的數量總共有10隻，一隻羊有4隻腳，所以羊總共有40隻腳...
師：奶奶院子裡有沒有可能雞0隻，羊10隻
生：大部分回有可能，少部份的聲音回不可能
凱：不可能呀！如果全部是羊，那腳的總數是40隻，就不符合題目的要求了
師：肯定凱很棒，把兩個問題都考慮進去了。
引導孩子們說出：當雞加羊的總數為10的時候，只是符合第一個問題，還需要考慮第二個問題雞腳加羊腳是否為32隻？
接著抽24號，說明表格第二個訊息
妮回：雞1隻、羊9隻的時候，牠們的腳加起來有38隻。
師示範說明：
雞1隻、羊9隻，雞加羊總共有10隻，符合題目的第一個條件；
但一隻雞有2隻腳，一隻羊有4隻腳，9隻羊有36隻腳，
加上雞的2隻腳，總共有38隻腳，不符合題目的第二個條件。
請妮試著說「雞2、羊8」的訊息及各數字代表的意義。
完成後， 接著抽到丞
他說：雞有3隻，為了符合第一個條件，所以羊有7隻。
師：肯定丞說得很棒喔！點出羊填7是為了符合第一個條件的10
丞繼續說
雞3隻有6隻腳，羊7隻有28隻腳，
6加28等於34，
不符合題目說的雞腳加羊腳有32隻。
就這樣
一個個孩子接力把雞羊問題的表格完成了。
師：你們發現第2列和第1列有什麼關聯性？
薰：兩個數字相加都是10
師：為什麼要是10
薰：為了符合第一個條件。
師：從這個表格，你們還發現什麼？
妍：最下面一列，每一個都減2
師：32之後，你會填多少？
妍：30、28、26、24...
師：考試的時候，你可不可以用表格的方式來算？
生1：如果不會簡單的方式，可以用表格？
生2：可是會比較花時間？
生3：老師說只要能解決問題的都是好方法。
師：考試的時候如果沒有表格，只有題目，你會怎麼做？
秉：我會先想雞有2隻腳，羊有4隻腳，然後再慢慢算...
師：是有點類似表格的方式嗎？
秉：嗯！
師：表格的方式是不是一個解決問題的方式？
生：是
師：有沒有更好的方法？
宸：先假設雞跟羊都是5隻，所以雞腳2X5=10，羊腳4X5-20 ,10+20=30
師：然後呢？
生甲：再加一隻雞
生乙：再加一隻雞會少2吔！
師：上面的答案代表什麼？
琮：代表少了2隻腳
師：肯定琮的回應，所以，現在應該怎麼辦？
生：30+2
師：30+2的2是誰的腳？
部份生：雞的（異口同聲）
部份生：羊的（接二連三）
生：羊比雞多兩隻腳
師：這到底是誰的腳
回到宸的說法：因為雞和羊各5隻，所以，他們總共只有30隻腳，可是題目告訴我們有32隻腳，代表現在怎麼了？
生：差了2隻腳
師：怎麼樣可以多2隻腳？
丞：加一隻雞
眾生：加一隻羊啦！
生：加一隻羊才可以多2隻腳
師：剛才羊有幾隻？
生：5隻
師：現在呢？
生：6隻。
師：羊如果變6隻，那誰要少？
生：雞
師：所以...
生：雞要5-1，變成4隻。
師：我們一起來算算看腳數對不對？
生：4隻雞8隻腳，6隻羊24隻腳，
師：加加看
生：總共32隻腳
師：所以宸所提的方法是不是可以解決問題？
生：可以
師：再次肯定宸。
師：這是一個方法，但是，有沒有其他的方法？
琮：我會先用4X10，假設10隻動物都是羊，腳的總數就是40隻腳，
可是題目只有32隻腳，所以要用40隻腳去減32隻腳，表示目前多了8隻腳。
師：確認同學們是否聽清楚琮所說的，接著...
琮：所以要把8去除以括號4減2
師：告訴我你的想法
琮：4減2是因為每少一隻羊、多一隻雞，會相差2隻腳，8除以2是要看，這樣要少掉幾隻羊
師：8除以2等於4
琮：所以就代表要換4隻雞
師：雞如果有4隻，那麼羊就會變成
生：10-4=6
師：請大家掌聲鼓勵一下
生：給予熱烈掌聲
師：還有沒有其他的想法
生：假設全部都是雞（大家七嘴八舌的說）
師鼓勵學生試著說說看
琪：假設全部都是雞，一隻雞有2隻腳，雞有10隻，所以是20隻腳
師：但是...
琪：但是牠離32隻腳，還有一個距離，所以，你要算出牠離32,還差幾隻腳？
師：所以要32...
生：減20
師：代表...
琪：代表牠還少了12隻腳
師：那要怎麼樣增加這12隻腳，
琪：每多一隻羊會再多2隻腳，所以把12除以（4-2）得出6
師：這6是什麼意思？
琪：這6隻都是羊
師：：可是剛剛全部都是雞，現在呢？
生：把10隻雞換了6隻羊
師：所以呢？
琪：所以10-6=4，表示雞只剩下4隻。
為了確認學生是否真的懂得，我們立刻實作一題。
題目如下：
請學生讀題後，兩兩一組對話討論，
再把想法寫下來。
師進行行間巡視。
有兩個孩子採用表格的方式，
慢慢計算中。
另有三種不同解決，
我邀請孩子上台寫在黑板上方。
再上台說明自己的想法。
第一種：假設25張全部都是12元的郵票
第二種：假設25張全部都是5元的郵票
第一、二種因為類似前面雞、羊問題的對話，故不再詳述。
第三種：是祈提出的想法（與解題歷程）
以下是師生對話歷程
祈：因為它是5元加12元的郵票共25張嘛，所以，我就先把它加起來，
師：什麼東西加起來
祈：就是12元的郵票和5元的郵票，它們的價錢加起來就是17元嘛
師：那17元代表的意思是...
祈：代表說12加5元嘛
師：我知道是12加5啦
凱回應：就是5元郵票和12元郵票各買一張
祈：喔喔
師：確認學生是否知道17所代表的意思，也再次肯定凱
師說明：如果我今天買了一張12元的郵票，同時也買了一張5元的郵票，
那麼我要給櫃台的小姐多少元？
生：17元
師：我付17元可以拿到幾張郵票？
生：一張12元的郵票，和一張5元的郵票
祈接著說：202除以17代表它們中間是幾倍的關係...
生（小聲）：不太清楚
師：202除以17等於11餘15
祈：11代表12元的郵票和5元的郵票各買11張
師：確認大家是否聽懂
眾生：點頭並出聲回應
生丁：11就是11份嘛
生戊：11份就是12元的郵票和5元的郵票各11張的意思
師：肯定祈很棒的想法，那多了15元...
祈：各買11張，總共買了22張，因為題目要求是25張，減22張後，還剩下3張。
祈：剩下的15元，還可以再買5元的郵票3張，11加3等於14，所以5元有14張。
師：聽懂祈說的請舉手
生：除一人外，全部舉手
師：請大家一定要給他熱烈的掌聲，因為老師教這麼多屆高年級的學生，
第一次有學生提出這個方式的解題，祈真是太厲害了！（眾生熱烈歡呼）
接著
師引導學生進行歸納後，
再次提出，
若要確認祈的作法可不可行，
下回習作遇到類似的問題時，
可以仿祈的方式試試看。
但是，你一定要不斷的問自己，
現在在做什麼？
發下習作後，
請學生翻至P58就該頁三題，
兩人一組進行想法對話。
原則上，
第一人先說第一種想法，
第二人要提出另一種不一樣的想法。
對話約兩分鐘後，
有一學生提出第一個題目
沒有辦法像祈之前說的那樣去做。
題目是這樣的：
一枝鉛筆4元，一枝原子筆7元。
陳老師共買了30枝筆，一共花了156元，
鉛筆和原子筆共有多少枝？
說有困難的學生是這樣算的：
4+7=11
156除以11，等於14餘2
他說剩下2元，沒辦法買任何一種筆
但祈馬上說，他可以算，
祈是怎麼算的呢？
請看
所以
祈說這個方法是可成立，而且還很好算呢！
至於其他的同學算法，
不外是
以及
上圖：枝寫成隻，錯咯！
以上呈現的是兩節數學課上課師生對話情景，
孩子們是課堂的主人，
讓他們在課堂中多說話，
聚焦性的討論，
即使是數學課，
也有機會成為孩子們的最愛喔！
後記一
在本班所有公式都不是導師直接告知，
是藉由布題與引導，
孩子們自己發現定律或公式。
當我告訴他們，
數學家就是透過一次次的實驗找到定律，
歸納出公式，
看來，你們也是現代數學家喔！
您可以想見
孩子們眼神中散發出的那份自信心與成就感嗎？
後記二
此外 如
複合圖形的解題，
孩子們五花八門的解題歷程，
曾經高達八、九種的不同解題思維，
讓我這個導師改起習作來備嘗艱辛，
卻深受感動！
因為 孩子們有自己的想法，
知道自己在做什麼，
那比什麼都重要！
後記三
如果您驚訝於我為何能夠把課堂對話記得這麼清楚，
我要說的是，
十四年前的我確實有此能耐，
現在已經不可能！
但因為參與教專，
所以近兩年來的課堂教學，
每一堂課幾乎都是錄影或錄音教學，
藉以檢視自己
是否精熟任教學科領域知識？
是否清楚呈現教材內容？
是否運用有效教學技巧？
是否應用良好的溝通技巧？
教學過程中能否適時檢視學生學習情形？
是否建立有助於學生學習的班級常規？
是否營造積極的班級學習氣氛？
......
因為
沒有完美的教學，
只有不斷精進的教學。
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